Dreiecksrechner

Drei Angaben reichen, weil ein Dreieck drei Freiheitsgrade hat: die drei Seitenlängen oder jede Kombination, die dieselbe Menge unabhängiger Daten ergibt. Die drei Standardkombinationen tragen Kurznamen, die in jedem Geometrieunterricht verwendet werden. SSS bedeutet, dass Sie alle drei Seiten gemessen haben – üblich, wenn das Dreieck ein Objekt ist, das Sie mit dem Zollstock umlaufen können. SAS bedeutet zwei Seiten und den Winkel, an dem sie sich treffen – so erhalten Sie das Ergebnis einer Schmiege oder einer Messung mit dem Theodolit zwischen zwei sichtbaren Ecken. ASA bedeutet zwei Winkel und eine verbindende Seite, das typische Ergebnis, wenn Sie eine Grundlinie und zwei Peilungen von ihren Enden aus messen.

Sobald Sie drei gültige Werte haben, folgt der Rest mit zwei Regeln. Der Cosinussatz macht aus drei Seiten einen Winkel: a² = b² + c² − 2bc·cos A, umgestellt zu cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), wenn Sie den Winkel brauchen. Der Sinussatz führt das Problem dann um das Dreieck herum: a / sin A = b / sin B = c / sin C – ein bekanntes Winkel-Seiten-Paar erschließt die beiden anderen. Der dritte Winkel kostet nichts dazu – ziehen Sie die beiden bekannten von 180° ab.

Für die Fläche gibt es zwei gleich gute Formeln, und der Rechner wählt die, die zu Ihren Eingaben passt. Mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel lautet die Formel Fläche = ½·a·b·sin C. Mit drei Seiten ist es die Heron-Formel: Halbieren Sie den Umfang, um s zu erhalten, und bilden Sie dann √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Beide liefern die Antwort in quadratischen Einheiten der Einheit, die Sie für die Seiten eingegeben haben – aus Zentimetern werden also Quadratzentimeter, ohne jeden Umrechnungsschritt.

Achten Sie auf zwei Fehlerbilder. Drei Längen, die die Dreiecksungleichung verletzen – eine Seite, die genauso lang oder länger ist als die beiden anderen zusammen –, fallen zu einer flachen Linie oder gar nichts in sich zusammen, und der Rechner meldet das, statt Unsinn zu liefern. Im Zwei-Winkel-Fall müssen die beiden bekannten Winkel weniger als 180° ergeben; erreichen oder überschreiten sie das, ist kein Platz mehr für den dritten Winkel. Kleine Rundungsfehler bei Feldmessungen zeigen sich meist als Winkel, die 180° um einen Bruchteilgrad verfehlen – ein Anzeichen, lieber neu zu messen als den Zahlen zu vertrauen.

Wo es nützlich wird: einen Sparren- oder Dachstuhlschnitt gegen den Winkel im Plan prüfen, bestätigen, dass ein Winkelhalter wirklich rechtwinklig ist, eine Peilung in einen Eckenwinkel für Leistenarbeiten umrechnen oder die Dreiecke lösen, die in einer Rampe, einer Dachfläche oder einer Solaranlage verborgen sind. Wenn einer Ihrer Werte vom Winkelmesser auf dem Bildschirm stammt statt vom Zollstock, tippen Sie ihn als Winkel ein und lassen Sie den Rechner die Geometrie darum herum ausrechnen.